Üçgen Nedir ve Üçgenin Özellikleri
 

Üçgen Nedir ve Üçgenin Özellikleri

Üçgen Nedir?

A, B, C doğrusal olmayan herhangi üç nokta olmak üzere [AB], [BC], [AC] doğru parçalarının ikişer ikişer birleştirilmesi ile oluşan geometrik şekle üçgen denir.

Üçgen

[AB] U [BC] U [AC] = ABC üçgeni
[AB], [BC], [AC] üçgenin kenarlarıdır.
m(EÂC), m(DBF) ve m(BĈA) üçgenin iç açıları
m(DÂC), m(EBF) ve m(AĈF) üçgenin dış açılarıdır.
|AB| = c (AB kenarının uzunluğu c birim)
|BC| = a (BC kenarının uzunluğu a birim)
|AC| = b (AC kenarının uzunluğu b birim)

Üçgenin; üçü kenar, üçü açı olmak üzere altı temel elemanı vardır.

Üçgenin Çeşitleri

A. Açılarına Göre Üçgen Çeşitleri

A.1. Dar Açılı Üçgen

Üç iç açısının da ölçüsü 90° ’ den küçük olan üçgene dar açılı üçgen denir.
a < 90°
b < 90°
c < 90° ise ABC üçgeni, dar açılı bir üçgendir.

Dar açılı üçgen

A.2. Dik Üçgen (Dik Açılı Üçgen)

Bir iç açısı 90° olan üçgene dik üçgen denir. Dik üçgende 90° ’ lik açının karşısındaki kenar hipotenüstür. Diğer kenarlar ise dik kenarlardır.

Dik Üçgenin Özellikleri

√ Â = ° 90 ise Â= B + Ĉ

√ Dik Üçgende Pisagor Bağıntısı: Hipotenüsün uzunluğunun karesi, dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir:

a2 = b2 + c2

√ Dik Üçgende Öklid Bağıntıları: Öklid bağıntısının uygulanması için hipotenüse dik inilmiş olması gerekir.

Dik kenar bağıntısı : b2 = k x a
Dik kenar bağıntısı : c2 = p x a
Yükseklik bağıntısı : h2 = p x k
Alan bağıntısı : a x h = b x c

A.3. Geniş Açılı Üçgen

Bir iç açısı 90° ’ den büyük olan üçgene geniş açılı üçgen denir. α > 90° ise ABC üçgeni geniş açılı bir üçgendir.

B. Kenarlarına Göre Üçgen Çeşitleri

B.1. Çeşitkenar Üçgen

Üç kenarı ve üç iç açısı farklı olan üçgene çeşitkenar üçgen denir:

ABC üçgeninde ; a ≠ b ≠ c ve α ≠ β ≠ θ olduğu için ABC üçgeni çeşitkenar üçgendir.

B.2. İkizkenar Üçgen

İki kenarın uzunluğu eşit olan üçgene ikizkenar üçgen denir.

|AB| = |AC| ise ABC üçgeni ikizkenar bir üçgendir. İkizkenar üçgenin taban açıları dar açıdır.

α < 90° ’ dir.

İkizkenar Üçgenin Özellikleri

1. b = c
2. Bˆ = Cˆ
3. ha , va , na çakışıktır ( h:Yükseklik, v: kenarortay, n: açıortay)
4. hb = hc vb = vc nB = nC

B.3. Eşkenar Üçgen

Bütün kenar uzunlukları eşit ve bütün açıları 60° olan üçgenlere eşkenar üçgen denir.

|AB| = |BC| = |AC| veya α = 60° ise, ABC üçgeni eşkenar üçgendir.

Eşkenar Üçgenin Özellikleri

1. a = b = c
2. Â = Bˆ = Cˆ = 60° ’dir.
3. Her kenara ait yükseklik, kenarortay ve açıortay çakışıktır.
4. Yükseklik, kenarortay ve açıortaylar birbirine eşittir.

Üçgen Bağıntıları

Herhangi bir üçgende üçü açı ve üçü kenar olmak üzere altı temel eleman vardır. Ayrıca yükseklik, açıortay, kenarortay gibi yardımcı elemanlar vardır. Bu temel ve yardımcı elemanların birbirleriyle olan ilişkilerine üçgen bağıntıları denir. Üçgen hesapları bu bağıntılar dikkate alınarak yapılır.

Üçgen Bağıntı Çeşitleri

Üçgen bağıntılarını üç grupta inceleyebiliriz. Bunlar: açı bağıntıları, kenar bağıntıları ve açı-kenar (trigonometrik) bağıntılar. Üçgen hesapları bu bağıntılardan biri veya hepsi kullanılarak yapılır.

A. Açı Bağıntıları

Herhangi bir üçgende

1. İç açılar toplamı 180° ’ dir. (a+b+c = 180°)

2. Dış açılar toplamı 360° dir. (α + β + θ = 360°)

3. Bir iç açı ile bir dış açının toplamı 1800’ dir. (a + α = 180°)

4. Bir dış açı, kendine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. (α= b + c β= a+c θ= a+b)

5. Bir üçgende üç iç açıortay bir noktada kesişir (D noktası). Bu nokta, üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.

6. İki iç açıortay arasında kalan açı, açıortayı alınmayan açının yarısının 90° ile toplamına eşittir.

α = 90° + (a/2)

7. Bir üçgende iki dış açıortay bir noktada kesişir (D noktası). Bu nokta, üçgenin dış teğet çemberinin merkezidir.

8. Bir üçgende bir iç açıortay ile bir dış açıortayın kesiştiği nokta, üçgenin dış teğet çemberinin merkezidir.

9. İki dış açıortay arasında kalan açı, açıortayı alınmayan açının yarısının 90° ile farkına eşittir.

w = 90° - ( a / 2 )

10. Bir iç açıortay ile bir dış açıortay arasında kalan açı, açıortayı alınmayan açının yarısına eşittir.

q = a / 2

B. Kenar Bağıntıları

Herhangi bir üçgende;

1. Bir kenar diğer iki kenarın toplamından küçük, farkından büyüktür: a < b+c b < a+c a > b-c

2. Üçgende iki kenarın orta noktalarını birleştiren doğru parçasına orta taban denir. Orta taban, üçüncü kenara paralel ve bu kenarın yarısına eşittir.

|DE| // |BC| ise |DE| = BC / 2

3. Üçgende yükseklikler bir noktada kesişir (H noktası). Bu noktaya diklik merkezi (Ortasantr) denir.

4. Kenar orta dikmeler bir noktada kesişir( O noktası). Bu nokta, üçgenin çevrel çemberinin merkezidir.

5. Kenarortaylar bir noktada kesişir (G noktası). Bu noktaya üçgenin ağırlık merkezi denir.
|GA|= 2 / 3 |AA’|

|GA’| = 1 / 3 |AA’|

C. Açı – Kenar (Trigonometrik) Bağıntılar

1. Bir üçgende büyük açı karşısında uzun kenar, küçük açı karşısında kısa kenar bulunur.

2. Bir üçgende kenar uzunlukları ile açıortay, kenarortay ve yükseklik uzunlukları ters orantılıdır.

3. ABC üçgenine göre;
Sin α = b / c

Cos α = a / c

tg α = b / a

4. Herhangi bir üçgenin alanı aşağıdaki formüllerden birisi ile hesaplanır.

S : Üçgenin alanı
R : Çevrel çember yarıçapı
r : İç teğet çember yarıçapı
ra , rb , rc : Dış teğet çember yarıçapı
u : Yarım çevre ( 2u = a+b+c ) veya u = (a+b+c)/2
ha , hb , hc : Yükseklik

S = ( 1 / 2 ) a .  ha = ( 1 / 2 ) b . hb = ( 1 / 2 ) c . hc

S = √ u (u - a) (u - b) (u - c)

S = u . r

S = ( u – a ) ra = ( u – b ) rb = ( u – c ) rc

S = abc / 4R

S = ( 1 / 2 ) b . c . SinA = ( 1 / 2 ) a . c . SinB = ( 1 / 2 ) a . b . SinC





Bu sayfa hakkındaki son yorum:
Yorumu gönderen: AHMET, 10.05.2016, 16:00 (UTC):
KOYANDAN ALLAH RAZIOLSUN ÇOK İŞİME YARADI SAĞOLUN TEŞEKKÜRLER

Yorumu gönderen: hamdi , 14.04.2016, 15:03 (UTC):
çokuun olmuş kısa olsa daha iyi olurdu bence...

Yorumu gönderen: oğuzhan, 10.04.2016, 15:56 (UTC):
eyw bea çok iidi 2 yerden karışık olark yazdım ama tekrardan ellerine sağlık admin işimi gördü:) saolasın

Yorumu gönderen: isyankar hayat , 19.03.2016, 10:07 (UTC):
İyimş

Yorumu gönderen: şevval, 05.05.2015, 15:26 (UTC):
yarım yamalak hepsi yok of ya

Yorumu gönderen: ebru, 16.04.2015, 12:44 (UTC):
iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii

Yorumu gönderen: oya, 17.12.2014, 15:29 (UTC):
hariha.............. bencede emege saygı

Yorumu gönderen: şevo, 18.11.2014, 14:39 (UTC):
sağolun güzel anlatım olmuş (emeğe sayğı)

Yorumu gönderen: haktan, 18.09.2014, 12:10 (UTC):
çok süpeeeeeeeeerrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr


Yorumu gönderen: yaren:)), 31.05.2014, 19:17 (UTC):
işime yaramadı açıkçası ama yinede yazdığınız için teşekkürler...
***** umarım işinize yarar*****

Yorumu gönderen: melo, 21.05.2014, 15:30 (UTC):
çok kötü

Yorumu gönderen: LOUİSA, 14.05.2014, 14:49 (UTC):
KONULR GERÇKTEN GÜZL HAZRLNMŞ TŞKR EDRM ÇK İŞİME YARADI

Yorumu gönderen: Halil, 12.05.2014, 14:56 (UTC):
Haber kankaaaaa

Yorumu gönderen: uff, 25.04.2014, 11:45 (UTC):
çok güzel ama hepsi işime yaramayacak yinede iyi açıklamışlar çok teşekkürler performans ödevimde işe yaradı :D

Yorumu gönderen: popstarada, 08.04.2014, 16:53 (UTC):
bence iyi bir site ama işime yaramadı çünkü öğretemenimiz çok uzun bir makale istiyor

Yorumu gönderen: çağtay ulusoy, 02.04.2014, 14:09 (UTC):
sizler hep bunları mı söylersiniz ardağımı söylemezmisiniz.Benim söylediğimin cevabını söylemediniz.Bu nasıl iş yaaa...

Yorumu gönderen: aleyna , 31.03.2014, 16:08 (UTC):
ya süperrrrrrrrrrrrrr 100 aldım hocadan deneyin hadiiiiii

Yorumu gönderen: cereen, 07.01.2014, 10:33 (UTC):
bu ne ya bişey anlamadım..

Yorumu gönderen: SONGÜL , 04.01.2014, 14:31 (UTC):
BU ÖDEWSAYESİNDE 100 ALDIM SAĞOLUN ÜÇGENLER

Yorumu gönderen: hatice, 30.12.2013, 20:04 (UTC):
yoo hayır guzel de şimdi bu kadar şeyi bn nasıl yazcam kii

Yorumu gönderen: Serkan, 26.12.2013, 19:23 (UTC):
Anlamamanızın nedeni daha bu konuları görmemiş olmanız kendi sınıfınızı yazıp araştırırsanız daha somut sonuçlar bulabilirsiniz :)

Yorumu gönderen: ece, 19.12.2010, 11:33 (UTC):
bune yaaaaa hiç birşey anlamadimm lnnnn

Yorumu gönderen: yusuf, 16.12.2010, 13:19 (UTC):
mereba ben yusuıffffffffffff

Yorumu gönderen: burcu, 08.12.2010, 20:26 (UTC):
bu çok güzel dir

Yorumu gönderen: mervenur, 05.12.2010, 09:52 (UTC):
bn de hiç bişe anlamdım katılıyorum une ya karışma bnde

Yorumu gönderen: selen, 25.11.2010, 13:38 (UTC):
hiç bişi anlamadımm:(

Yorumu gönderen: hasan efe , 21.11.2010, 15:41 (UTC):
:);):(yesssssssssssssssss

Yorumu gönderen: furkan, 19.11.2010, 06:06 (UTC):
:);):( yesssssssssssssssss




Bu sayfa hakkında yorum ekle:
İsmin:
Mesajınız:
 
 
19 Ağustos 2007 itibariyle, toplam: 36805420 ziyaretçi (102936671 klik) tarafından görüntülenmiştir. Online ziyaretçi rekorumuz, 4626 kişi. (5 Eylül 2010)
 
 

gizli

Bu site, en iyi Firefox ve Google Chrome tarayıcılarında ve 1024 x 768 ekran çözünürlüğünde görüntülenir.