Hanoi Kulesi Promlemi (Tower of Hanoi)
 

Hanoi Tower, Hanoi Kulesi Problemi

Hanoi Kulesi Promlemi

Tower of Hanoi

Bu problem, 1883'te Fransız matematikçi Edouard Lucas tarafından bulundu ve oyuncak olarak satılmaya başlandı. Şekilde 8 diskten yapılmış bir kule ve iki boş çubuk görülmektedir. Her keresinde bir diski hareket ettirmek ve bir diski asla kendisinden küçük bir disk üzerine koymamak şartıyla kuledeki diskleri boş iki çubuğa en az kaç hamlede aktarabilirsiniz? Problemi önce 2, 3 ve 4 gibi az sayıda diskle çözmeye çalışıp bir formül geliştirebilir misiniz?

Hanoi Problemi Çözümü

Çözüm

Kulede n sayıda disk varsa, en az 2n-1 hamle gereklidir. Böylece 3 disk 7, 4 disk 15, 5 disk ise 31... hamlede nakledilebilir. 8 disk için 255 hamle gereklidir; 28-1=256-1=255

Tower of BrahmaHindistan'daki Benares kentinde bir tapınakta bulunan "Brahma Kulesi", "Hanoi Kulesi"nin benzeridir. Brahma Kulesi'nde 64 altın disk vardır ve rahipler, nesillerdir bu diskleri boş iki çubuğa aktarmakla meşguldürler. (Bu 64 altın disk için) gerekli hamle sayısı, 264-1'dir. Bu ise 2 x 1018e yakın 20 basamaklı bir sayıdır. (Yaklaşık 1.84467441 × 1019) Rahipler, gece gündüz çalışıp her saniyede bir disk aktarsalar bile; işi bitirmek bile milyarlarca yıl alacaktır.

Söz konusu sayı, asal değildir; fakat, n = 89 veya 107 veya 127 olarak alınırsa asal sayılar elde edilebilir. Bunlara "Mersenne sayıları" denmektedir. Lucas, ilk Mersenne sayısı olan 2127-1'i bulmuştu. (170,141,183,460,469,231,731,687,303,715,884,105,727) Ondan sonra 12 Mersenne sayısı daha bulundu. Bunların en büyüğü, 1971'de IBM Araştırma merkezi bilgisayarlarınca bulunan Mersenne sayısıdır: 219937-1. (2^19937-1) Bu, 6002 basamaklı bir sayıdır.

Üç diskli Hanoi Kulesi'nde disklere A, B ve C dersek, disklerin hareket sırası, ABA CABA, dört diskli (A,B,C,D) Hanoi Kulesi'nde disklerin hareket sırası, ABA CABA DABA CABA (15)'tir.

Soldaki küpte küpün koordinatlarını A, B ve C diye aldığımızda, ABA CABA yolu, sağdaki 4 boyutlu küpte (4 boyutlu hiperküp) koordinatları A, B, C ve D olarak ele alındığında ABA CABA DABA CABA yolları, noktalı çizgilerle gösterilmiştir. Bunlara "Hamilton yolları" denmektedir.

Ünlü İrlandalı matematikçi Hamilton, 1850'de "İcosa Oyunu" adı altında bir oniki yüzlünün (dodecahedron) bütün köşelerini dolaşıp başlanan noktaya dönmeyi bulmuştu. Bu oyun, bütün Avrupa'ya yayıldı. Hamilton, bu keşfinden yalnızca 25 sterlin kazanmıştı. Oyunu satanlar ise milyonlar kazandı. Görüldüğü gibi küplerde de bütün köşeler dolaşılarak başlangıç noktasına dönülmektedir.

Hanoi Kulesi'nde hareket sırasını harflerle bulmak için iki yöntem daha veriyoruz;

Sıralama D C B A Sonuç
  1 0 0 0 1 A
2 0 0 1 0 B
3 0 0 1 1 A
4 0 1 0 0 C
5 0 1 0 1 A
6 0 1 1 0 B
7 0 1 1 1 A
8 1 0 0 0 D

Alternatif Yöntem 1

1'den 8'e kadar ikili (binary) sayı sistemini yazın ve sağdan sola A, B, C ve D sütunlarını belirleyin. Her yatay sıranın sağına, o sırada en sağda olan 1'in sütun değerini verin; yine ABA, CABA, D elde ettiniz.

Alternatif Yöntem 2

Bir cetveldeki bir birimi sırasıyla 2, 4, 8 ve 16'ya bölün. İkiye bölerken D, 4'e bölerken C, 8'e bölerken B ve 16'ya bölerken A harflerini kullanın. Yine ABA CABA DABA CABA sırası elde ettiniz. (Çin Halkaları denen eski mekanik bilmecelerin çözümünde, bu harfli bilmeceler kullanılmaktadır.) [1]

Başvurulan Kaynaklar

[1] Doç. Dr. Selçuk Alsan, Matematik ve Mantık Eğlenceleri, "Düşünme Kutusu II",  s. 40, 140-141.





Bu sayfa hakkındaki yorumlar:
Yorumu gönderen: Sjsjsj, 22.05.2016, 11:50 (UTC):
Sitresli bi oyun 7.bolumden sonra yapamadim ama insan inat ediyor bi sure sonra

Yorumu gönderen: isimsiz, 08.05.2016, 14:11 (UTC):
edouard lucas hakkında bilgi

Yorumu gönderen: Can, 17.04.2016, 11:22 (UTC):
Harika olmuş ödevi yaradı teşekkürler

Yorumu gönderen: dilan vural, 16.03.2016, 15:33 (UTC):
çok karmaşık bir oyun ve bu benim proje ödevim 8.sınıfa gidiyorum eğer yapmazsam sözlü notum 0(sıfır) olacak.2.yöntemi anlayamadım biraz açıklarmısınız

Yorumu gönderen: anonim, 03.05.2015, 15:17 (UTC):
çok güzel ama bir kere problem yerine promlemi yazısını düzeltmenizi tavsiye ederim

Yorumu gönderen: ezgi, 22.12.2013, 20:43 (UTC):
çok güzel yazmışsınız, teşekkürler.

Yorumu gönderen: mehmet arıkan, 21.05.2010, 10:44 (UTC):
ben bu sayfayı çok sevdim hatta üye bile olmak istiyrum...



Bu sayfa hakkında yorum ekle:
İsmin:
Mesajınız:
 
 
19 Ağustos 2007 itibariyle, toplam: 36921161 ziyaretçi (103140201 klik) tarafından görüntülenmiştir. Online ziyaretçi rekorumuz, 4626 kişi. (5 Eylül 2010)
 
 

gizli

Bu site, en iyi Firefox ve Google Chrome tarayıcılarında ve 1024 x 768 ekran çözünürlüğünde görüntülenir.